==========
/MAT/LAW78
==========

Ключевое слово формата блока Этот закон представляет собой модель Ёсиды-Уэмори для описания 
 Циклическая пластичность металлов при больших деформациях. Закон основан на каркасе двух поверхностей 
 теория: податливая поверхность и ограничивающая поверхность.

Во время пластической деформации поверхность текучести будет перемещаться внутри ограничивающей поверхности и 
 никогда не изменит свой размер, а ограничивающая поверхность может измениться как по размеру, так и по местоположению. 
 Зависимость модуля Юнга от пластической деформации и стагнация наклепа 
 эффект также учитывается. Что касается SPH, то он совместим только с твердыми телами, это 
 можно проверить с помощью теста /SPH/WavesCompression. Твердая версия только изотропна. 
 Версия оболочки является анизотропной по критерию Хилла.

Формат
------

.. csv-table::
   :header: "(1)", "(2)", "(3)", "(4)", "(5)", "(6)", "(7)", "(8)", "(9)", "(10)"
   :widths: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10

   "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID", "/MAT/LAW78/mat_ID/unit_ID"
   "mat_title", "mat_title", "mat_title", "mat_title", "mat_title", "mat_title", "mat_title", "mat_title", "mat_title", "mat_title"
   ":math:`\rho_{i}`", ":math:`\rho_{i}`", "", "", "", "", "", "", "", ""
   "E", "E", ":math:`\nu`", ":math:`\nu`", "", "", "", "", "", ""
   "Y", "Y", "b", "b", ":math:`C_{2}^{KH}`", ":math:`C_{2}^{KH}`", "h", "h", "B0", "B0"
   "m", "m", "Рсат", "Рсат", "ОптР", "C1", "C1", "C2", "C2", ""
   "r00", "r00", "r45", "r45", "r90", "r90", "Мексп", "Мексп", "Икрит", ""
   "fct_IDE", "", "Эйнф", "Эйнф", "CE", "CE", ":math:`C_{1}^{KH}`", ":math:`C_{1}^{KH}`", "", ""

Определение
-----------

.. csv-table::
   :header: "Поле", "Содержание", "Пример единицы СИ"
   :widths: 33, 33, 33

   "mat_ID", "Идентификатор материала.(Целое число, максимум   10 цифр)", ""
   "unit_ID", "Идентификатор объекта.(Целое число, максимум 10 цифр)", ""
   "mat_title", "Название материала.(Символ, максимум   100 символов)", ""
   ":math:`\rho_{i}`", "Начальная плотность.(Реальная)", ":math:`[\frac{kg}{m^{3}}]`"
   "E", "Модуль Юнга.(Реальный)", ":math:`[Pa]`"
   ":math:`\nu`", "Коэффициент Пуассона.(Реальный)", ""
   "Y", "Предел текучести.(Реальный)", ":math:`[Pa]`"
   "b", "Центр ограничивающего   поверхность.(Реальная)", ":math:`[Pa]`"
   ":math:`C_{2}^{KH}`", "Параметр правила кинематического упрочнения   поверхности текучести (или используется при расчете   :math:`C`   если   :math:`C_{1}^{KH}>C_{2}^{KH}`  ). 5(Реал)", ""
   "h", "Параметр материала для контроля работы   застой закалки.(Настоящий)", ""
   "B0", "Начальный размер границы   поверхность.(Реальная)", ":math:`[Pa]`"
   "m", "Параметр для изотропных и кинематических   упрочнение ограничивающей поверхности.(Реальное)", ""
   "Рсат", "Насыщенное значение изотропного   закалочный стресс.(Реальный)", ":math:`[Pa]`"
   "ОптР", "Флаг измененного правила изотропного упрочнения   (доступно только для оболочек): =0 (по умолчанию) Формулировка Йошиды. =1 Модифицированная формулировка (определить C1 и C2). (Целое число)", ""
   "C1, C2", "Константа, используемая в модифицированном   формулировка изотропного упрочнения ограничивающей поверхности (доступна для оболочек   только).(Реальный)", ""
   "r00", "Параметр Ланкфорда (0 градусов), используемый для   элементы оболочки. По умолчанию = 1,0 (Реальный)", ""
   "r45", "Параметр Ланкфорда (45 градусов), используемый для   элементы оболочки. По умолчанию = 1,0 (Реальный)", ""
   "r90", "Параметр Ланкфорда (90 градусов), используемый для   элементы оболочки. По умолчанию = 1,0 (Реальный)", ""
   "Мексп", "Экспонента   :math:`M`   в Критерии текучести элементов оболочки Барлата 1989 года.   8. > 2,0 Любое значение больше 2,0 является допустимым. = 6,0 (по умолчанию) Для материала Body Centered Cubic (BCC). = 8,0 Для материала Face Centered Cubic (FCC). (Настоящий)", ""
   "Икрит", "Пластиковый флажок выбора критерия. = 0 Установить на 1 = 1 (по умолчанию)  Хилл 1948 г.  = 2 Барлат 1989 г., доступен только для элементов оболочки.  (Целое число)", ""
   "fct_IDE", "Идентификатор функции, определяющей масштаб   коэффициент эволюции модуля Юнга в зависимости от эффективной пластической деформации. 9 (целое число)", ""
   "Эйнф", "Асимптотическое значение Янга   модуль.(Реальный)", ":math:`[Pa]`"
   "CE", "Параметр, контролирующий зависимость   Модуль Юнга эффективной пластической деформации. (Реальный)", ""
   ":math:`C_{1}^{KH}`", "Параметр   :math:`C`   для правила кинематического упрочнения поверхности текучести. 5 Игнорировать, если   :math:`C_{1}^{KH}\leC_{2}^{KH}`  .(Реал)", ""

Пример
------

.. code-block::

   #RADIOSS STARTER

   #---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

   /UNIT/1

   unit for mat

                     Mg                  mm                   s

   #---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

   #-  2. MATERIALS:

   #---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

   /MAT/LAW78/1/1

   DP600-HDG

   #              RHO_I

                 7.8E-9

   #                  E                  NU

                 206000                  .3

   #                  Y                   B                C2KH                   H                  B0

                    420                 112                 200                   0                 555

   #                  m                RSAT      OPTR                  C1                  C2

                     12                 190         0                   1                   1

   #                 R0                 R45                 R90                Mexp     Icrit

                      1                   1                   1

   #  Fct_IDE                          EINF                  CE                C1KH

            0                        163000                  50                   0

   #---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

   #ENDDATA

   /END

   #---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

Комментарии
-----------

1. Для твердых элементов выход по Мизесу

          используется критерий, поэтому функция доходности выражается как:
  :math:`f=\frac{3}{2}(s−\alpha):(s−\alpha)−Y^{2}`
  Тогда как для элементов оболочки выход Хилла (1948) или Барлата (1989)

            используются критерии, позволяющие моделировать анизотропные материалы:
  - Критерий Хилла выражается как:
    :math:`f=\phi(\sigma−\alpha)−Y^{2}`
    Где,
    :math:`Y`
    Напряженность текучести.
    :math:`\alpha`
    Полный стресс для спины.
    4
    Если 
 :math:`A=\sigma−\alpha` 
, тогда 
 :math:`\phi` 
 выражается как:
    :math:`\phi(A)=A_{xx}^{2}−\frac{2r_{0}}{1+r_{0}}A_{xx}A_{yy}+\frac{r_{0}(1+r_{90})}{r_{90}(1+r_{0})}A_{yy}^{2}+\frac{r_{0}+r_{90}}{r_{90}(1+r_{0})}(2r_{45}+1)A_{xy}^{2}`
  - Критерий Барла выражается так:
    :math:`f=\varphi(\sigma−\alpha)−2Y^{M}`
    Где, 
 :math:`M` 
 — показатель степени в критерии доходности Барла.
    :math:`\varphi` 
 выражается как:
    :math:`\varphi(A)=a|K_{1}+K_{2}|^{M}+a|K_{1}−K_{2}|^{M}+c|2K_{2}|^{M}`
    С,
    :math:`K_{1}=\frac{A_{xx}+hA_{yy}}{2}` 
 и 
 :math:`K_{2}=\sqrt{(\frac{A_{xx}−hA_{yy}}{2})^{2}+p^{2}A_{xy}^{2}}` 
.
    Параметры 
 :math:`a` 
,
 :math:`c` 
и 
 :math:`h` 
 вычисляются на основе коэффициентов Ланкфорда.
    :math:`a=2−2\sqrt{\frac{r_{00}}{1+r_{00}}\frac{r_{90}}{1+r_{90}}}` 
, 
 :math:`c=2−a` 
, 
 :math:`h=\sqrt{\frac{r_{00}}{1+r_{00}}\frac{1+r_{90}}{r_{90}}}`
    Параметр 
 :math:`p` 
 получается решением:
    :math:`\frac{2MY^{M}}{(\frac{\partialf}{\partialA_{xx}}+\frac{\partialf}{\partialA_{yy}})\sigma_{45}}−1−r_{45}=0`
2. Предел текучести, коэффициент Пуассона и коэффициент Юнга. 
 модуль должен быть строго положительным. Остальные параметры должны быть неотрицательными. 
 ценность.
3. Схематическое изображение

          двухповерхностная модель показана на
  Рисунок 1
  .
  Где 0 — исходный центр поверхности текучести, поверхность текучести с ее

            центр
  :math:`\alpha`
  и его радиусы
  Y
  , движется

            кинематически, внутри ограничивающей поверхности, размер которой указан как
  B
  +
  R
  и тензор
  :math:`\beta`
  указывая его центральное положение.
  .. image:: images/mat_law78_starter_r_law78_2-surface_model.png
     :alt: law78_2-surface_model
     *(Рисунок 1. Схематическое изображение модели с двумя поверхностями.)*
4. Поверхность текучести подвергается

          кинематическое упрочнение. Кинематическое движение описывается формулой
  :math:`\alpha^{*}`
  который имеет следующую эволюцию:
  - для элементов оболочки
    :math:`\dot{\alpha}^{*}=C[(\frac{a}{Y})(\sigma−\alpha)−\sqrt{\frac{a}{‖\alpha^{*}‖}}\alpha^{*}]\dot{\bar{\epsilon}}_{p}`
  - для твердых элементов
    :math:`\dot{\alpha}^{*}=C[(\frac{2}{3})a\dot{\epsilon}_{^{p}}−\sqrt{\frac{a}{‖\alpha^{*}‖}}\alpha^{*}\dot{\bar{\epsilon}}_{^{P}}]`
  Где,
  :math:`\dot{\bar{\epsilon}}_{p}`
  Эквивалентная скорость пластической деформации
  C
  и
  a
  Параметры материала и
  :math:`a=B+R−Y`
  :math:`\alpha=\alpha^{*}+\beta`
  Полный стресс для спины
  .. note::
     В случае квадратичного уравнения (с использованием Хилла или 
      :math:`M` 
     =2,0 с Барла) и изотропный критерий (
      :math:`r_{00}=r_{45}=r_{90}=1` 
     ), уравнение кинематического движения оболочки равно твердому телу 
      один.
5. Параметр
  :math:`C`
  правило кинематического упрочнения может принимать два разных значения

          описать изменение скорости наклепа при прямой и обратной деформациях.
  - If
    :math:`C_{1}^{KH}>C_{2}^{KH}`
    ,
    :math:`{C=C_{1}^{KH}ifMax(‖\alpha^{*}‖)<B−YC=C_{2}^{KH}otherwise`
  - If
    :math:`C_{1}^{KH}\leC_{2}^{KH}`
    , изменение скорости наклепа деактивируется и
    :math:`C=C_{2}^{KH}`
    .
6. Ограничивающая поверхность подвергается

          изотропно-кинематическое упрочнение. Уравнение эволюции изотропного упрочнения:
  :math:`\dot{R}=m(R_{sat}−R)\dot{\bar{\epsilon}}_{^{p}}`
  По умолчанию (если
  ОптР
  =
  0
  ) Выражение Ёсиды
  :math:`R=R_{sat}[(C_{1}+\bar{\epsilon}_{^{p}})^{C_{2}}−C_{1}^{C_{2}}]`
  Доступно для элементов оболочки, если
  ОптР
  =
  1
  Уравнение эволюции кинематического упрочнения ограничивающей поверхности:
  - для элементов оболочки:
    :math:`\dot{\beta}=m[(\frac{b}{Y})(\sigma−\alpha)−\beta]\dot{\bar{\epsilon}}_{^{p}}`
  - для твердых элементов:
    :math:`\dot{\beta}=m(\frac{2}{3}b\dot{\epsilon}_{^{p}}−\beta\dot{\bar{\epsilon}}_{^{p}})`
  .. note::
     В случае квадратичного числа (с использованием Hill или Mexp=2 с 
      Барла) и изотропный критерий (
      :math:`r_{00}=r_{45}=r_{90}=1` 
     ), уравнение кинематического упрочнения оболочки равно твердому телу 
      один.
7. Застой упрочнения во время

          разгрузка описывается с помощью
  J
  2
  -тип поверхности
  :math:`g_{\sigma}`
  с радиусом
  r
  и центр
  q
  :
  :math:`g_{\sigma}(\beta,q^{′},r)=\frac{3}{2}(\beta−q^{′}):(\beta−q^{′})−r^{2}\dot{q}^{′}=\mu (\beta−q^{′})r=h\dot{\Gamma},\dot{\Gamma}\frac{3(\beta−q^{′}):\dot{\beta}}{2r}`
  Где,
  :math:`h(0<h\le1)`
  Обозначает параметр материала, определяющий скорость расширения поверхности.
  :math:`g_{\sigma}`
  .
  :math:`\beta`
  Должно быть либо внутри, либо на поверхности.
  :math:`g_{\sigma}`
  .
8. Показатель доходности Барлата (1989)

          Критерий можно установить, рассматривая микроструктуру материала. Любое значение больше

          чем 2.0 допустимо, но обычно:
  - Mexp = 6,0 (по умолчанию) для материала Body Centered Cubic (BCC).
  - Mexp = 8,0 для материала Face Centered Cubic (FCC).
9. Эволюция модуля Юнга:
  - If
    fct_ID
    E
    >
    0
    , кривая определяет масштабный коэффициент для модуля Юнга

              эволюция с эквивалентной пластической деформацией, что означает, что модуль Юнга масштабируется по

              функция
    :math:`f(\bar{\epsilon}_{p})`
    :
    - :math:`E(t)=E⋅f(\bar{\epsilon}_{p})`
    Начальное значение масштабного коэффициента должно быть равно 1 и оно 
 уменьшается.
  - If
    fct_ID
    E
    =
    0
    , модуль Юнга рассчитывается как:
    :math:`E(t)=E−(E−E_{inf})[1−exp(−C_{E}\bar{\epsilon}_{p})]`
    Где,
    E
    и
    E
    инфа
    Начальное и асимптотическое значение модуля Юнга соответственно.
    :math:`\bar{\epsilon}_{p}`
    Накопленная эквивалентная пластическая деформация.
    .. note::
       Если fct_IDE = 0 и CE = 0, модуль Юнга 
        E остается постоянным.